1) Ogni numero intero e dispari, maggiore di 5, è sempre la somma di tre numeri primi.
Esempi: 27 = 3 + 11 + 13 55 = 5 + 19 + 31 117 = 7 + 53 + 57
2) La somma dei numeri dispari consecutivi (cominciando da 1) è sempre uguale a $2 ($= numero di numeri considerati nella serie) "Enunciato di Pitagora"
Esempi: 1+3= 4 (22=4) 1+3+5= 9 (32=9) 1+3+5+7= 16 (42=16) 1+3+5+7+9=25 (52=25)
1+3+5+7+9+11=36 (62=36) 1+3+5+7+9+11+13=49 (72=49) 1+3+5+7+9+11+13+15 = 64 (82 = 64)
1+3+5+7+9+11+13+15+17= 81 (92 = 81) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100 (102 =100) ......eccetera.....
3) Così, di conseguenza, data una serie consecutiva di numeri dispari (che comincia da 1), si può determinare la loro somma con le formule:
| somma= $2 | somma= ((N+1)/2)2 |
dove $= numero degli addendi che compongono la serie
N= numero più grande della serie
Esempio:
4) Così, di conseguenza, ogni numero dispari è uguale alla differenza di due quadratI consecutivi.
13 = 49 - 36 (72 - 62) 21 = 121 - 100 (112 - 102) 63 = 1024 - 961 (322 - 312)
123 = 3844 - 3721 (622 - 612) 211 = 11236 - 11025 (1062- 1052) 293 = 21609 - 21316 (1472- 1462)
5) Nicomaco ha dimostrato che , nella serie consecutiva dei numeri dispari, il primo è il cubo di 1, la somma dei due numeri successivi è il cubo di 2 (3 + 5 = 8), la somma dei tre numeri successivi è il cubo di 3 (7+ 9 + 11 = 27), e così via.
13+15+17+19 = 64 (43) 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 (53) 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 (63)
6) La somma dei numeri di una serie composta da numeri dispari che comincia da un numero qualsiasi è espressa nella formula:
| somma =[(N +n )/2] * [(N-n)/2 ]+1 (*) |
Esempio: nella serie 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 la somma è: (40/2) * [(10 /2)+1] = 20*6 = 120
(*) La formula è determinata calcolando, nella prima parte, il numero medio della serie (N+n)/2, e nella seconda parte il numero cardinale degli elementi che compongono la serie (N-n)/2 +1.