NUMERI :       Terminologia

MATEMATICA= dal greco "mathema"= insegnamento. Scienza che comprende l' Aritmetica, la Geometria, l'Algebra e la Trigonometria.
ARITMETICA= dal greco "arithmos"= numero. Studia le proprietà dei numeri naturali.
GEOMETRIA= "Misura della Terra". Studia le figure delle superfici piane e dei corpi solidi nello spazio.
ALGEBRA= Scienza delle equazioni che si ottengono eguagliando a zero uno o più polinomi con una o più incognite.
TRIGONOMETRIA= "Misura dei triangoli". Calcola i valori dei lati e degli angoli di un triangolo, noti tre elementi di cui uno è almeno un lato.



NUMERO = Ente matematico che caratterizza un insieme di cose o persone. E' espresso con segni convenzionali  (cifre) ai quali è assegnato un valore di quantità.

I NUMERI POSSONO ESSERE CLASSIFICATI IN:

LIVELLO 1:  NUMERI NATURALI (N): numeri che rappresentano la successione in un insieme.  Sono numeri interi e positivi. (Es. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ecc. )

- INTEGRI (WHOLE): è come la serie dei numeri naturali, ma comprende anche lo zero. (0, 1, 2, 3, 4, 5, ecc.). Questa distinzione è necessaria perchè comprendendo lo zero nella serie dei numeri naturali, si è spesso costretti ad escluderlo, ed a trattarlo come un'eccezione, quando si tenta, ad esempio, di utilizzarlo  al denominatore nella costruzione dei numeri razionali.

I NUMERI NATURALI SI POSSONO SUDDIVIDERE IN:

CARDINALI: numeri che esprimono la quantità di elementi appartenenti ad un insieme. (Es. 1, 2, 3, 4, ecc.)

ORDINALI: numeri che indicano l'ordine relativo tra gli elementi di un insieme. (Es. 1°, 2°, 3°, 4°, ecc.)

-- Nella serie dei numeri cardinali si possono evidenziare le seguenti suddivisioni:

NUMERI PARI: sono numeri naturali, positivi ed interi, che hanno come divisore  il numero 2.
(Es. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ecc.)

NUMERI DISPARI: sono numeri naturali, positivi ed interi, che  NON hanno come divisore  il numero 2.
(Es. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ecc.)

NUMERI PRIMI: sono numeri naturali, positivi ed interi, che hanno come divisori solo il numero 1 ed il numero stesso. (Es. 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ecc. )

LIVELLO 2:  NUMERI RELATIVI (Z):è l'insieme che comprende  i numeri INTERI, POSITIVI E NEGATIVI. (Es. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ecc.)

LIVELLO 3a:  RAZIONALI (Q): sono quei numeri con i quali è possibile effettuare le operazioni fondamentali dell'aritmetica (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Un numero razionale può anche essere espresso in forma frazionaria (es. 27/5 o in forma decimale es. 5,4).

I numeri RAZIONALI si dividono in:

RAZIONALI ASSOLUTI (Q+): solo con segno positivo.
RAZIONALI RELATIVI  : con segno positivo e/o negativo.

NUMERI DECIMALI PERIODICI: sono numeri razionali, quozienti di una divisione, che non hanno mai termine. (Esempio 13/7= 1,85714285............ecc.). Quando un numero od un gruppo di numeri continua a ripetersi, esso è chiamato periodo ed è rappresentato con una linea posta sopra il numero od i numeri che si ripetono. (Es. 33/9= 3,666666...., si scrive:). Un numero periodico è semplice se il periodo inizia subito dopo la virgola, misto se no inizia subito dopo la virgola; in tal caso il numero o gruppo di numeri, che precedono il periodo è detto antiperiodo.

LIVELLO 3b:  IRRAZIONALI (I):  sono quei numeri che non possono essere espressi sotto forma di frazione, (es. p (=pi greco),, Log5, ecc.).

LIVELLO 4:  REALI (R):   è l'insieme dei numeri RAZIONALI  E IRRAZIONALI (positivi e negativi).
 

LIVELLO 5:  COMPLESSI (C):   è l'insieme delle coppie ordinate di numeri REALI. I numeri complessi hanno la forma tipica: a + ib dove a e b sono numeri reali e razionali ed i= (unità immaginaria).

 

Un altro modo di dividere i numeri è tra ALGEBRICI e TRASCENDENTI:

ALGEBRICI: sono quei numeri che possono essere risolti con un'equazione di coefficienti razionali. Ad esempio è algebrico perché soddisfa l'equazione  x2= 2. Allo stesso modo sono algebrici anche Ö3 e Ö12 ,  la radice cubica di 52, ecc. E' evidente che tutti i numeri razionali sono algebrici perché, ad esempio 15/7  si può esprimere come 7x=15. Anche i numeri irrazionali possono essere anche algebrici.

TRASCENDENTI: sono numeri reali o complessi, risultati di radici  con coefficienti razionali, che non possono essere espressi con equazioni algebriche. Oltre i numeri  e  p, è trascendente, ad esempio,  anche il numero 2Ö2 e in genere ogni numero della forma ab con a numero algebrico ¹0 e 1 e b un numero algebrico irrazionale. E’ trascendente anche Log2 ed in genere Logn quando n non è una potenza di 10.

L'insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile; ciò implica che neanche l'insieme dei numeri trascendenti è numerabile, cioè, in maniera molto significativa, che esistono più numeri trascendenti che algebrici. Comunque, sono note soltanto poche classi di numeri algebrici e dimostrare che un dato numero è trascendente può essere molto difficile. Un'altra proprietà di un numero, e cioè la normalità, potrebbe aiutare a determinarne la trascendenza.

L'esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville:

\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0,110001000000000000000001000...

dove l'n-esima cifra dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120, 720, ..., etc.) e 0 altrimenti. Il primo numero che si dimostrò fosse trascendente senza che fosse stato appositamente costruito per questo fu e, da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della trascendenza di π. Nel 1874, Georg Cantor trovò l'argomentazione scritta sopra per l'esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti.

Vedi anche il teorema di Lindemann-Weierstrass.

Qui c'è una lista dei numeri di cui è stata dimostrata la trascendenza:

dove \beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor è la funzione parte intera. Per esempio se β = 2 allora questo numero è 0.11010001000000010000000000000001000...

La scoperta dei numeri trascendenti consentì la dimostrazione d'impossibilità di diversi antichi problemi geometrici riguardanti una costruzione con riga e compasso; il più famoso, la quadratura del cerchio, è impossibile perché π è trascendente, mentre tutti i numeri costruibili con riga e compasso sono algebrici.

 

 
 
 
 

Vai a :    PREFISSI E SIMBOLI



  Torna al menu principale