ALLA RICERCA DEI NUMERI PERFETTI

**"Un numero intero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori"**

Il più piccolo numero perfetto è il 6: infatti è divisibile (oltre che per sè stesso) per 1, 2 e 3 e la loro somma 1+2+3=6.
Già i matematici greci, da Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca di questi rarissimi numeri. Ne troviamo ancora uno nei primi cento numeri: il 28 (divisibile per 1,2,4,7 e 14 la cui somma è 28). I greci conoscevano altri due numeri perfetti: il 496 (=1+2+4+8+16+31+62 +124+254+248), e il numero 8128 (=1+2+4+8+16+32+64+127+254+ 508+1016+2032+ 4064).
Nel medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si può ritrovare nella struttura dell'universo perchè Dio creò la Terra in 6 giorni e fece girare la Luna attorno alla Terra in 28 giorni.
Perchè si scoprisse un altro numero perfetto dovevano passare 17 secoli: solo nel XV secolo, ad opera di un matematico anonimo, venne rivelato il quinto numero: il 33.550.336.
Dopo altri due secoli vennero scoperti da Pierantonio Cataldi il sesto ed il settimo numero perfetto: il 8.589.869.056 e il 137.438.691.328.
La ricerca dei numeri perfetti, prima dell'avvento del computer, è stata lunga e faticosa e dal tempo dei greci fino al 1900 ne vennero scoperti solo 12. Il più grande di questi, calcolato senza l'ausilio del computer , è un numero di 72 cifre che impegnò per diversi mesi Edward Lucas, un grande esperto di giochi matematici dell'Ottocento.

Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero nel 1772 scopri che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula :

n=2^p-1(2^p-1)

dove p è un numero primo.

Ad esempio con p=3 si ottiene2^(3-1)x(2³-1)= 2²x(8-1)=4x7=28che è il secondo numero perfetto.
Con p=5 si ottiene 2^(5-1)x(2⁵-1)=2⁴x(32-1)=16x31=496 che è il terzo numero perfetto e così via.
Eulero, con questa formula, calcolò p= 2^31-1 x (2³¹-1) e scoprì l'ottavo numero perfetto, il 2.305.843.008.139.952.128 di 19 cifre, che egli calcolò manualmente.
I numeri primi nella forma (2^p-1) si chiamano numeri di Mersenne, dal nome del frate francese che per primo ebbe l'idea di applicare questa formula per la ricerca dei numeri primi. Se anche il numero di Mersenne così calcolato è a sua volta un numero primo, allora n è un numero perfetto.

Il più grande numero perfetto calcolato senza uso del calcolatore fu scoperto, nel 1877, dall' esperto di giochi matematici Edouard Lucas che, nella forma [2^127-1 x (2¹²⁷-1)], calcolò un numero di ben 77 cifre.

Oggi conosciamo 39 numeri perfetti. Il più grande ha più di 8 milioni di cifre ed è stato scoperto il 14/11/2001 da Michael Cameron, 20 anni, del Canada, coadiuvato dall'istituto di ricerca del GIMPS, diretto da Scott Kurowsky (vedi tabella seguente).
Il numero è espresso nella forma: [2^13.466.916*(2^13.466.917-1)] dove (2^13.466.917-1 ) è l'ultimo numero primo scoperto.

ELENCO DEI NUMERI PERFETTI FINORA SCOPERTI

(per i numeri troppo grandi è indicato solo l'esponente p)

Numero progressivo	Valore di p (esponente) per ottenere un numero primo)	2^p-1	(2^p-1) Numero di Mersenne	Numero perfetto n	Anno della scoperta	Scopritore	Link
1	2	2	3	6	.....A.C.	----
2	3	4	7	28	....A.C.	----
3	5	16	31	496	....A.C.	----
4	7	64	127	8128	....A.C.	----
5	13	4.096	8191	33.550.336	1456	anonimo
6	17	65.536	131.071	8.589.869.056	1588	Cataldi
7	19	262.144	524.287	137.438.691.328	1588	Cataldi
8	31	1.073.741.824	2.147.483.647	2.305.843.008.139.952.128	1772	Euler
9	61				1883	Pervushin
10	89				1911	Powers
11	107				1914	Powers	note
12	127				1876	Lucas
13	521				1952	Robinson
14	607				1952	Robinson
15	1279				1952	Robinson
16	2203				1952	Robinson
17	2281				1952	Robinson
18	3217				1957	Riesel
19	4253				1961	Hurwitz
20	4423				1961	Hurwitz
21	9689				1963	Gillies
22	9941				1963	Gillies
23	11213				1963	Gillies
24	19937				1971	Tuckerman
							Tuckerman71

25	21701				1978	Noll	NN80
25	21701				1978	& Nickel	NN80
26	23209				1979	Noll
27	44497				1979	Nelson &
27	44497				1979	Slowinski	Slowinski79
28	86243				1982	Slowinski
28	86243				1982		Ewing83
29	110503				1988	Colquitt & Welsh
							CW91

30	132049				1983	Slowinski
31	216091				1985	Slowinski
32	756839				1992	Slowinski &	Peterson92
32	756839				1992	Gage	Peterson92
33	859433				1994	Slowinski & Gage
34	1257787				1996	Slowinski & Gage	(web page)
35	1398269				1996	Armengaud	(web page)
						Woltman
						et. al.
						GIMPS
36	2976221				1997	Spence	(web page)
						, Woltman,
						et. al. GIMPS
37	3021377				1998	Clarkson	(web page)
						, Woltman,
						Kurowski
						et. al. GIMPS
						PrimeNet
38	6972593				1999	Hajratwala	(web page
						Woltman,
						et. al. GIMPS
						PrimeNet
39	^13466917				2001	Cameron
						Woltman,
						Kurowski
						et. al. GIMPS	PrimeNet

Data ultimo aggiornamento 06/05/02

Finora i numeri perfetti scoperti sono tutti numeri pari, ma i matematici non possono escludere che il quarantesimo numero sia dispari e nemmeno che la loro lista sia finita o infinita.

Carl Pomerance, matematico dell'università della Georgia, ha dimostrato che, se un giorno sarà trovato un numero perfetto dispari, esso dovrà contenere almeno 7 numeri primi diversi.

Una seconda curiosità, che si può dimostrare, è che ogni numero perfetto, tranne il 6, è uguale alla somma della successione di numeri dispari (partendo da 1) elevati al cubo.

Esempio: 28= 1³ + 3³496= 1³ + 3³ + 5³ + 7³

8128= 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

Un terzo aspetto dei numeri perfetti maggiori del 6 è la somma degli elementi che compongono il numero che è sempre uguale a 1.

Esempio: 28= 8+2=10=1+0=1

496=4+9+6=19=1+9=10=1+0=1

8128=8+1+2+8= 19=1+9=10=1+0=1

33550336=28=2+8=10=1+0=1