ALLA RICERCA DEI NUMERI PERFETTI

"Un numero intero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori"

Il più piccolo numero perfetto è il  6: infatti è divisibile (oltre che per sè stesso) per 1, 2 e 3  e la loro somma 1+2+3=6.
Già i matematici greci, da Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca  di questi rarissimi numeri. Ne troviamo ancora uno nei primi cento numeri: il 28 (divisibile per 1,2,4,7 e 14 la cui somma è 28). I greci conoscevano altri due numeri perfetti: il 496 (=1+2+4+8+16+31+62 +124+254+248), e il numero  8128 (=1+2+4+8+16+32+64+127+254+ 508+1016+2032+ 4064).
Nel medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si può ritrovare  nella struttura dell'universo perchè Dio creò la Terra in 6 giorni e fece girare la Luna attorno alla Terra in 28 giorni.
Perchè si scoprisse un altro numero perfetto dovevano passare 17 secoli: solo nel XV secolo, ad opera di un matematico anonimo, venne rivelato il quinto numero: il 33.550.336.
Dopo altri due secoli vennero scoperti da Pierantonio Cataldi  il sesto ed il settimo numero perfetto:  il 8.589.869.056 e il 137.438.691.328.
La ricerca dei numeri perfetti, prima dell'avvento del computer, è stata lunga e faticosa e dal tempo dei greci fino al 1900 ne vennero scoperti solo 12. Il più grande di questi, calcolato senza l'ausilio del computer , è un numero di 72 cifre che impegnò per diversi mesi Edward Lucas, un grande esperto di giochi matematici dell'Ottocento.

Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero nel 1772 scopri che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula :
 

n=2p-1(2p-1)

dove p è un numero primo.

Ad esempio con p=3 si ottiene2(3-1)x(23-1)= 22x(8-1)=4x7=28che è il secondo numero perfetto.
Con p=5 si ottiene 2(5-1)x(25-1)=24x(32-1)=16x31=496 che è il terzo numero perfetto e così via.
Eulero, con questa formula, calcolò p= 231-1 x (231-1) e scoprì l'ottavo numero perfetto, il 2.305.843.008.139.952.128 di 19 cifre, che egli calcolò manualmente.
I numeri primi nella forma  (2p-1) si chiamano numeri di Mersenne, dal nome del frate francese che per primo ebbe l'idea di applicare questa formula per la ricerca dei numeri primi. Se anche il numero di Mersenne cos calcolato a sua volta un numero primo, allora n un numero perfetto.

Il più grande numero perfetto calcolato  senza uso del calcolatore fu scoperto, nel 1877, dall' esperto di giochi matematici Edouard Lucas che, nella forma [2127-1 x (2127-1)], calcolò un numero di ben 77 cifre. 

Oggi conosciamo 39  numeri perfetti. Il più grande  ha pi di 8 milioni di cifre  ed è stato scoperto il 14/11/2001 da Michael Cameron, 20 anni, del Canada, coadiuvato dall'istituto di ricerca del GIMPS, diretto da Scott Kurowsky (vedi tabella seguente).
Il numero è espresso nella forma: [213.466.916 *(213.466.917-1)] dove (213.466.917-1 ) è l'ultimo numero primo scoperto.
 

ELENCO DEI NUMERI PERFETTI FINORA SCOPERTI

(per i numeri troppo grandi indicato solo l'esponente p)

Numero progressivo Valore di p (esponente) per ottenere un numero primo)  2p-1
 (2p-1)
Numero di Mersenne 
Numero perfetto n Anno della scoperta Scopritore Link
1 2 2 3 6 .....A.C. ----  
2 3 4 7 28 ....A.C. ----  
3 5 16 31 496 ....A.C. ----  
4 7 64 127 8128 ....A.C. ----  
5 13 4.096 8191 33.550.336 1456 anonimo  
6 17 65.536 131.071 8.589.869.056 1588 Cataldi  
7 19 262.144 524.287 137.438.691.328 1588 Cataldi  
8 31 1.073.741.824 2.147.483.647

2.305.843.008.139.952.128

1772 Euler  
9 61       1883 Pervushin  
10 89       1911 Powers  
11 107       1914 Powers note
12 127       1876 Lucas  
13 521       1952 Robinson  
14 607       1952 Robinson  
15 1279       1952 Robinson  
16 2203       1952 Robinson  
17 2281       1952 Robinson  
18 3217       1957 Riesel  
19 4253       1961 Hurwitz  
20 4423     1961 Hurwitz  
21 9689 1963 Gillies  
22 9941 1963 Gillies  
23 11213 1963 Gillies  
24 19937 1971 Tuckerman  
Tuckerman71
25 21701 1978 Noll NN80
& Nickel
26 23209 1979 Noll  
27 44497 1979 Nelson &  
Slowinski Slowinski79
28 86243 1982 Slowinski  
  Ewing83
29 110503 1988 Colquitt & Welsh  
CW91
 
30 132049 1983 Slowinski  
31 216091 1985 Slowinski  
32 756839 1992 Slowinski & Peterson92
Gage
33 859433 1994 Slowinski & Gage  
34 1257787 1996 Slowinski & Gage (web page)
35 1398269 1996 Armengaud (web page)
Woltman  
et. al.  
GIMPS  
36 2976221 1997 Spence (web page)
, Woltman,
et. al. GIMPS
37 3021377 1998 Clarkson (web page)
, Woltman,  
Kurowski  
et. al. GIMPS  
PrimeNet  
 

38

6972593 1999 Hajratwala (web page
 Woltman,   
et. al. GIMPS  
PrimeNet  
 

39

13466917     2001 Cameron  
Woltman,  
 Kurowski  
et. al. GIMPS

PrimeNet

Data ultimo aggiornamento 06/05/02

Finora i numeri perfetti scoperti sono tutti numeri pari, ma i matematici non possono escludere che il quarantesimo numero sia dispari e nemmeno che la loro lista sia finita o infinita.

Carl Pomerance, matematico dell'università della Georgia, ha dimostrato che, se un giorno sarà trovato un numero perfetto dispari, esso dovrà contenere almeno 7 numeri primi diversi.

Una seconda curiosità, che si può dimostrare, è che ogni numero perfetto, tranne il 6, è uguale alla somma della successione di numeri dispari (partendo da 1) elevati al cubo.

Esempio:            28= 13 + 33                     496= 13 + 33 + 53 + 73

                    8128= 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

Un terzo aspetto dei numeri perfetti maggiori del 6 la somma degli elementi che compongono il numero che sempre uguale a 1.

Esempio: 28= 8+2=10=1+0=1

                   496=4+9+6=19=1+9=10=1+0=1

                    8128=8+1+2+8= 19=1+9=10=1+0=1

                    33550336=28=2+8=10=1+0=1 


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