IL NUMERO D'ORO 1,618034...
Dalla sezione aurea posiamo determinare il valore del numero aureo che risulta dalla formula:
che corrisponde alla soluzione positiva dell'equazione di secondo grado:
j2 -j - 1= 0 |
Come p, j può essere espresso anche come somma di una serie infinita.
Se con la calcolatrice digitiamo 1+1 e sottoponiamo la somma al suo reciproco (1/x) otterremo 0,5 al quale sommiamo ancora 1 e poi ancora il reciproco, 1/(0,5+1). Ripetendo più volte la stessa procedura, otterremo come risultato un numero che sempre più ci si avvicinerà al numero d'oro. ( vedi formula 1).
Un secondo metodo, sempre con la calcolatrice, è partire ancora da 1+1, ed elevare il risultato alla radice quadrata. Ripetendo la stessa operazione n volte, otterremo un numero molto vicino al numero d'oro (dopo l'undicesima radice si ottiene 1,618034). ( vedi formula 2).
Tra le numerose proprietà del numero aureo, il j è l'unico numero positivo che mantiene le stesse cifre decimali anche nel proprio reciproco:
Infatti 1/1,618034 = 0,618034..... (provare per credere!)..
Tutte le potenze della sezione aurea possono essere espresse molto facilmente in termini di j
j 2 = j +1 (1,6180342=2,618034)
j 3 = 2j +1 j 4 = 3j +2 j 5 = 5j +3 j 6 = 8j +5 j 7 = 13j +8 j 8 = 21j +13 j 9 = 34j +21 j 10 = 55j +34
Ogni potenza è la somma delle due precedenti e i
coefficienti di j
compongono la