- SPIRALI -

 

- SPIRALE DI ARCHIMEDE

La spirale archimedea, inventata dal famoso matematico greco Archimede, si sviluppa in modo che la distanza tra una spira e l'altra rimanga sempre uguale. Ci si può imbattere in una spirale archimedea osservando una semplice ragnatela. I ragni tessono anzitutto la struttura portante e poi, partendo da centro, ricoprono i fili con una spirale, mantenendo sempre la stessa distanza tra una spira e la successiva. La spirale archimedea rappresenta il metodo più rapido (il ragno tesse la tela tutte le mattine) e regolare (uguale distanza tra i bracci di spirale) di copertura, mentre quella logaritmica lascerebbe delle maglie sempre più larghe man mano che ci si sposta dal centro, rendendo la rete non adatta a trattenere piccoli insetti volanti.

L'equazione si rappresenta come:  

r=a*n*q 

[r] è il raggio della spirale (o meglio la sua distanza dal centro nel punto considerato) 

[a] costante che definisce il passo fra i bracci di spirale,

[n] è il numero di giri compiuti dalla spirale

[q] l'angolo preso in considerazione..

 

- SPIRALE LOGARITMICA

La spirale logaritmica o equiangolare, studiata nel 1638 da Cartesio, si sviluppa allargandosi costantemente un giro dopo l'altro, come il guscio di una chiocciola, del Nautilus o le corna dell'ariete.

Quando i tre raggi MA, MB e MC formano degli angoli uguali tra di loro, il raggio centrale MB è medio proporzionale tra il più piccolo MA ed il più grande MC:

MA:MB=MB:MC

quindi la proporzione tra i tre raggi è analoga a quella tra le parti di un segmento diviso in media ed estrema ragione ed il segmento stesso. Una particolare spirale logaritmica è quella attribuita all'architetto e scultore greco Fidia, spirale che è legata ad un determinato valore della costante b, scelta in modo tale che ogni raggio conduttore venga diviso da tre volute che si susseguono in due parti che stanno tra loro come 0,618:1, per cui la più grande delle due parti è media proporzionale tra la più piccola e la somma delle due. Lo sviluppo di una spirale logaritmica è una nuova spirale logaritmica, così essa si ripete mediante l'evoluzione, come scoprì Bernoulli, professore di matematica a Basilea.

r=a*emq

con [a] ed [m] costanti, q= angolo

Interessante è la relazione tra i numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica  che si rivela se si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti. Se li disponiamo come in figura e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.

La spirale logaritmica della lumaca (chiocciola) risponde principalmente ad esigenze di crescita all’interno della stessa.. Infatti la lumaca esce dall’uovo con già la chiocciola e questa è una parte non separabile del gasteropode senza provocarne lesioni e probabilmente la morte.  Crescendo la lumaca costruisce strati superiori sul bordo della chiocciola che va ad occupare con la nuova massa corporea. La spirale logaritmica ha la proprietà di allargarsi man mano che ci si allontana dal centro e di conseguenza il volume aumenta, mentre quella archimedea non consentirebbe un allargamento dell’area in uscita, ma solo l’allungamento costante all’interno di un braccio di spirale. Probabilmente per la lumaca la spirale logaritmica costituisce il giusto compromesso fra lunghezza ed area di accrescimento, cioè il volume più congeniale.

Per quanto riguarda la coclea che se svolta riproduce un cono, i fisiologi hanno concluso che questa forma serve ad regolare ed incanalare l’intensità degli stimoli che arrivano come un megafono, e l’avvolgimento a spirale serve a contenere la notevole lunghezza del cono in uno spazio inferiore. Infatti anche negli strumenti musicali come il corno, l’avvolgimento a spirale non influenza l’intonazione (anche se può talvolta alterare il timbro), ma solo la lunghezza del tubo determina la frequenza di emissione di un suono. Avvolto a spirale un cono riproduce una spirale logaritmica.  Tuttavia il sistema è altamente complesso ed il controllo dello stimolo uditivo è la somma di contributi dovuti al sistema di ossicini, al padiglione auricolare, ai muscoli auricolari ed al sistema labirintico e quindi risulta molto approssimativo ridurre la coclea ad un semplice megafono anche se l’analogia può indicare almeno una delle funzioni. 

Una curiosità: la lumaca nasce in genere con una chiocciola che gira in senso orario guardandola dall’alto (con la punta in alto e l’apertura in basso), ma una su 20.000 circa nasce con una chiocciola antioraria.

Le spirali sono anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali per quanto riguarda i frattali è la spirale logaritmica. La spirale evoluta è quella che si ottiene srotolando un gomitolo e tenendo il filo sempre teso; la fine del filo traccerà una spirale.
Il modo migliore per rappresentarla è con le coordinate polari r e f che costituiscono una valida alternativa alle coordinate cartesiane. r corrisponde alla distanza del punto P dall’ origine, modulo, e f all’ angolo tra OP e l’asse delle x. Da notare che r è sempre maggiore o uguale a 0 e l’angolo cresce in senso antiorario da 0 e una rotazione completa aumenta l’angolo di 2p radianti.

La spirale logaritmica sostituisce la r della spirale di Archimede con il log r,

log r=af.

Se a è maggiore di 0 la spirale cresce all’ infinito, se è minore di 0 procede verso il centro, se a=0 si ha una circonferenza.

 

 

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