I NUMERI PRIMI

La scelta di non includere 1 tra i numeri primi è dovuta anche ad altri motivi: tra questi, c'è il fatto che una tale inclusione costringerebbe a riformulare in modo più complicato diversi teoremi di matematica, come ad esempio il teorema fondamentale dell'aritmetica e il crivello di Eratostene. Già nell'Ottocento alcuni matematici includevano tuttavia 1 tra i numeri primi: ad esempio Derrick Norman Lehmer lo incluse nella sua tavola dei numeri primi pubblicata nel 1914.

I numeri primi possono essere considerati i "mattoni con cui si costruiscono tutti i numeri interi."
Infatti ogni intero o è un numero primo o il prodotto di primi.

Il numero 11, ad esempio, è un primo e 12 è il prodotto dei primi 2x2x3; 13 è un primo; 14 è 2x7; 15 è 3x5 e così via.
E' inoltre interessante notare come ogni numero pari maggiore di 2 si possa esprimere come somma di due numeri primi,

esempio: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3;8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 20 = 3 + 17; 100 = 3 + 97 proprietà che ancora non è stata dimostrata.
Un'altra curiosità riguardante i numeri primi è la presenza costante di numeri gemelli, di numeri primi cioè che differiscono di 2 unità

(ad esempio, 5 e 7, 17 e 19, 101 e 103): non è ancora stato chiarito dai matematici se le coppie di gemelli siano finite o infinite

Nel  grafico (fig. 1) , non considerando la parte iniziale fino a n=20,  la linea di tendenza sembra essere una retta o un' iperbole con una curvatura molto ampia.  Sembrerebbe quindi facile determinare un algoritmo che permetta di calcolare un numero primo, in funzione di n.
In realtà qualsiasi formula che noi possiamo definire, non darà mai un risultato esatto per tutti i numeri primi, come se la regola che li unisce tendesse a sfuggire ad ogni logica matematica.
Questo è sempre stato il tormento dei matematici che hanno, da secoli, cercato di inquadrarli in una regola che ne determinasse la successione tanto che nel 2000 il   CMI (Clay Mathematics Institute) ha messo in palio un premio da 1 milione di dollari a chi riuscirà a determinarla.

Per esempio: con p=5 si ottiene p'= 31, con p= 7 si ottiene 127, con p= 13 si ottiene 8191, e così via.

Molti matematici prima del '500 ritenevano che tutti i numeri di Mersenne fossero a loro volta dei numeri primi, ma, a partire dal '500, sono stati trovati molti numeri di Mersenne non primi (ad esempio 2¹¹-1,   2²³-1,   2²⁹-1). Tuttavia i numeri di Mersenne rimangono "interessanti", sia perché viene  utilizzata per scoprire i numeri perfetti, ma soprattutto perché esistono test di primalità per numeri di questa forma che hanno reso possibile verificare la primalità di numeri molto grandi.  Anzi i numeri primi più grandi che si conoscono sono tutti numeri di Mersenne e numeri perfetti.

Finora nessuno ancora è riuscito a determinare una formula che generi numeri primi.  Anche la tecnica utilizzata dal progetto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) non è molto  più sofisticata di un metodo vecchio di duemila anni detto  "il crivello di Eratostene", ideato da Erastotene di Alessandria, matematico, filosofo e poeta greco, vissuto nel II secolo a.C.. L'idea del crivello è molto semplice. Si tratta di mettere in fila tutti i numeri dispari (quelli pari possono essere esclusi poiché, si sa, sono multipli di 2), fino al limite stabilito, eliminando poi, come non primi, un numero ogni tre dopo il 3 (cioè i multipli di 3), un numero ogni cinque dopo il 5 (cioè i multipli di 5) e così via. I numeri che rimarranno dopo questa operazione, saranno certamente primi. E' evidente però che questo metodo, seppur semplice, è fattibile finché si lavora con numeri di poche cifre: con numeri più grandi i tempi di "crivellatura" si allungano in maniera esasperante.
Ecco quindi che solo il calcolatore, con la sua straordinaria velocità di calcolo, ci permette oggi di compiere calcoli lunghi e tediosi, e di elaborare numeri con migliaia di cifre in modo da farci progredire nella conoscenza e nello studio dei numeri primo.