SEZIONE AUREA

Per avere l'idea della proporzione se consideriamo la misura del segmento pari all'unità, possiamo calcolare la misura dei due tratti AB e BC:

AB + BC= 1        e       BC = AB*AB/AC

Quindi:  BC = 1-AB         e       1 - AB= AB²/1

che si risolve come equazione di secondo grado:    

AB² + AB -1= 0        AB= [-1 ±RADQ (1+4 )]/2

e si ottiene: AB= (-1 + RADQ 5 )/ 2 = (-1 + 2,236068) /2 = 0,618034...    

e     BC= 1-0,618034= 0,381966...

che corrisponde ad un rapporto uguale a: 0,618034/0,381966= 1,618034...

Questo numero è detto "numero d'oro" per le sue molteplici proprietà.

- Le prime 12 frazioni  con numeratore sino a 1000, che più si avvicinano a questo rapporto  sono:             

C'è un metodo per ottenere dei numeri che se rapportati tra loro danno come risultato un numero che si avvicina sempre più al numero d'oro man mano che i numeri diventano grandi.

Questi numeri sono quelli appartengono alla serie di Fibonacci una serie in cui ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti. 

I primi elementi sono pertanto:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.......

A partire da tale successione, se  formiamo una serie di tipo frazionario, emergono i seguenti rapporti:

1/1;  2/1; 3/2;  5/3;  8/5;  13/8;  21/13;  34/21;  55/34,  89/55;  144/89 ecc.    

i cui valori decimali approssimati sono:

1; 2; 1,5; 1, 666;  1,6;  1,625;  1,615;  1, 619;  1, 617;  1, 6181; 1, 6180 ecc. 

                                                                            COSTRUZIONE DEL SEGMENTO AUREO

Dato il segmento AB, dividerlo in due parti uguali con il punto M. Dall'estremità B tracciare la perpendicolare al segmento fino al ottenere CB= MB.

Dal punto C, tracciare con il compasso un semicerchio fino ad incontrare in D il segmento AC. Puntando infine il compasso in A con raggio AD, si ottiene il punto E che divide il segmento in due parte con proporzione aurea (AE/EB= 1,618).

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che:

AC:BC=BD:DC        e dunque:        AC:AD=AD:DC

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente.

RETTANGOLO AUREO

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Con una squadra disegnare il segmento CB perpendicolare ad DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:

AE:EB=AB:AE

PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI

All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.

  Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica.

SPIRALE AUREA

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.